Diplômé de l’école supérieure du Théâtre national de Strasbourg, Robert Bouvier a signé les mises en scène de Peepshow dans les alpes, Saint Dom Juan, Cronopes et fameux, Artemisia, Une lune pour les déshérités, Roi de rien, Cinq Hommes, Les gloutons, Les estivants, Les acteurs de bonne foi, Doute, Les deux gentilshommes de Vérone, Le chant du cygne... ainsi que plusieurs opéras Don Carlo, Faust, Don Giovanni, Mefistofele, La damnation de Faust, Le mariage secret, Tosca, L’élixir d’amour... Il a aussi réalisé trois courts et un moyen métrages et écrit plusieurs adaptations de textes pour la scène ainsi que des scénarios. Egalement comédien, il a joué dans une quarantaine de spectacles (mis en scène par Matthias Langhoff, Jean-Louis Hourdin, Irina Brook, Hervé Loichemol, Adel Hakim, Charles Tordjman, François Verret, Jean Chollet, Laurence Mayor, Françoise Courvoisier, Robert Sandoz, Gilles Bouillon, Fabrice Melquiot...) et une vingtaine de films (réalisés par Alain Tanner, Denis Amar, Michel Rodde, Claude Champion, Francis Reusser, Alain Resnais...).
Il est le directeur du Théâtre du Passage à Neuchâtel, ainsi que de la Compagnie du Passage.